Question

【題目】證明:存在無窮多個棱長為正整數(shù)的長方體,其體積恰等于對角線長的平方,且該長方體的每一個表面總可以割并成兩個整邊正方形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)長方體棱長為.依題意有.

問題轉(zhuǎn)化為證明方程有無窮多組正整數(shù)解(),且三數(shù)中,

任意兩數(shù)之積皆可表示為兩個正整數(shù)的平方和.

首先,定義數(shù)列: .

引理 (1),特別地;

(2),特別地;

(3).

引理的證明:(1)令.則.

因為,

所以, ,即.

(2)對歸納:

顯然成立.

設(shè)時,.當(dāng)時,

,

即對成立.

所以,.

取為特例.

(3)當(dāng)時,成立,

設(shè)時,.

當(dāng)時,因是方程的根,另一個根為

.

所以,.

故.

回到原題.由引理(3)知,是的解,

且由引理(2)、(1)得

,

,

.

所以,原方程有無窮多組正整數(shù)解(),使得三數(shù)中,

任意兩數(shù)之積皆可表示為兩個正整數(shù)的平方和.

因此,原題結(jié)論成立.