Question

10．下列函數(shù)中，最小值是4的函數(shù)是（　�。�

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． $y={log_3}x+\frac{4}{{{{log}_3}x}}$

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：對(duì)于A：y=x+$\frac{4}{x}$，當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{4}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)；當(dāng)x＜0時(shí)，x+$\frac{4}{x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）≥-2$\sqrt{4}$=-4，即y≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取等號(hào)．∴A不對(duì)．
對(duì)于B：y=sinx+$\frac{4}{sinx}$$≥2\sqrt{4}=4$（0＜x＜π），當(dāng)且僅當(dāng)sinx=2時(shí)取等號(hào)．∵sinx的最大值為1，故取不到等，∴B不對(duì)．
對(duì)于C：y=e^x+4e^-x=e^x+4$\frac{1}{{e}^{x}}$$≥2\sqrt{4}=4$，當(dāng)且僅當(dāng)x=log_e2時(shí)取等號(hào)．∴C對(duì)．
對(duì)于D：當(dāng)log₃x＞0時(shí)，$y={log_3}x+\frac{4}{{{{log}_3}x}}$$≥2\sqrt{4}=4$，當(dāng)且僅當(dāng)x=9時(shí)取等號(hào)．當(dāng)log₃x＜0時(shí)，$y={log_3}x+\frac{4}{{{{log}_3}x}}$$≤2\sqrt{4}=-4$，即y≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{9}$時(shí)取等號(hào)．∴D不對(duì)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．