Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x+m）（m∈R）．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，解不等式f（$\frac{1}{x}$）＞1；
（2）若f（0）=1，且方程f（x）=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x+λ在閉區(qū)間[2，3]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算解不等式即可．
（2）根據(jù)f（0）=1，求f（x）的解析式，根據(jù)f（x）在閉區(qū)間[2，3]上有實(shí)數(shù)解，分離λ，求函數(shù)在閉區(qū)間[2，3]上的值域即為λ的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=lg（x+2）
那么：不等式f（$\frac{1}{x}$）＞1；即lg（$\frac{1}{x}$+2）＞lg10，
可得：$\frac{1}{x}$+2＞10，且$\frac{1}{x}$+2＞0，
解得：0＜x＜$\frac{1}{8}$，
∴不等式的解集為{x|0＜x＜$\frac{1}{8}$}；
（2）∵f（0）=1，可得m=10．
∴f（x）=lg（x+10）
f（x）=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x+λ，即lg（x+10）=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x+λ在閉區(qū)間[2，3]上有實(shí)數(shù)解，
可得λ=lg（x+10）-（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x，
令F（x）=lg（x+10）-（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x，求在閉區(qū)間[2，3]上的值域．
根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知：F（x）是增函數(shù)，
∴F（x）在閉區(qū)間[2，3]上的值域?yàn)閇lg12-$\frac{1}{2}$，lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]，
故得實(shí)數(shù)λ的范圍是[lg12-$\frac{1}{2}$，lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算以及不等式恒成立的問(wèn)題在對(duì)數(shù)與三角函數(shù)中的運(yùn)用．