Question

11．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為矩形，AB=3，AD=1，AA₁=2，且∠BAA₁=∠DAA₁=60°．則異面直線AC與BD₁所成角的余弦值為$\frac{7\sqrt{10}}{40}$．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AC}$=（3，1，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-3，2，$\sqrt{3}$），即可求出異面直線AC與BD₁所成角的余弦值．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（3，1，0），B（3，0，0），D₁（0，2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（3，1，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-3，2，$\sqrt{3}$），
∴異面直線AC與BD₁所成角的余弦值為|$\frac{-9+2}{\sqrt{10}•\sqrt{16}}$|=$\frac{7\sqrt{10}}{40}$，
故答案為：$\frac{7\sqrt{10}}{40}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線AC與BD₁所成角的余弦值，考查向量方法的運(yùn)用，屬于中檔題．