【題目】已知拋物線E：過點(diǎn)Q(1，2)，F為其焦點(diǎn)，過F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足△PAB的垂心為原點(diǎn)O.

（1）求拋物線E的方程；

（2）求證：動(dòng)點(diǎn)P在定直線m上，并求的最小值.

【答案】（1）；（2）證明見解析，的最小值為.

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，由此求得的值，進(jìn)而求得拋物線的方程.

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，寫出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程求得的坐標(biāo)，由此判斷出動(dòng)點(diǎn)在定直線上.求得的表達(dá)式，利用基本不等式求得其最小值.

（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得，所以.

（2）由（1）知拋物線的方程為，所以，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去得，所以.由于為三角形的垂心，所以，所以直線的方程為，即.同理可求得直線的方程為.由，結(jié)合，解得，所以在定直線上.

直線的方程為，到直線的距離為，到直線的距離為.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知圓的方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線的傾斜角）.

（1）寫出圓的極坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）若為圓上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)，若在處的切線方程為．

（I）求實(shí)數(shù)a，b的值；

（Ⅱ）證明，函數(shù)在x軸的上方無圖像；

（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有．

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【題目】已知

（1）若 ，且函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) ， 且存在 滿足 ，令函數(shù) ，試判斷 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明．

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【題目】如圖，空間幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求二面角平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且的極小值為.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）若過點(diǎn)可作三條不同的直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．

（1）求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)P在曲線C1上，點(diǎn)Q曲線C2上，求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】己知圓F1：(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3)，圓F2：(x-1)2+y2= (4-r)2．

（1）證明：圓F1與圓F2有公共點(diǎn)，并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程；

（2）已知點(diǎn)Q(m，0)(m<0)，過點(diǎn)E斜率為k(k≠0）的直線與（Ⅰ）中軌跡E相交于M，N兩點(diǎn)，記直線QM的斜率為k1，直線QN的斜率為k2，是否存在實(shí)數(shù)m使得k(k1+k2)為定值？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

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