Question

如圖，海上有兩個小島相距10，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為，現從船O上派下一只小艇沿方向駛至處進行作業(yè)，且．設。

（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；
（2）晚上小艇在處發(fā)出一道強烈的光線照射A島，B島至光線的距離為，求BD的最大值．

Answer 1

（1）；，（2）10

解析試題分析：（1）在和中，分別用余弦定理AC，AB，然后兩式相加即得的表達式；兩式相減即得的表達式，由和確定x的取值范圍.（2）由、和可得到關于BD的函數式，然后通過求導，求出BD的最大值.
試題解析：解：（1）在中，，，
由余弦定理得，，
又，
所以 ①，       1分
在中，，
由余弦定理得，
 ②，       3分
①+②得，
①②得，即，          4分
又，所以，即，
又，即， 所以                  6分
（2）易知，
故，                   8分
又，設，
所以，                              9分
又                                                10分
則在上是增函數，
所以的最大值為，即BD的最大值為10．                 12分
（利用單調性定義證明在上是增函數，同樣給滿分；如果直接說出上是增函數，但未給出證明，扣2分．）
考點：1.余弦定理；2.函數的導數及其導數性質的應用.