Question

20．已知圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=1，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
求：（1）過(guò)P點(diǎn)的圓的切線(xiàn)長(zhǎng)．
（2）過(guò)P點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理，求出過(guò)P點(diǎn)的圓的切線(xiàn)長(zhǎng)．
（2）分類(lèi)討論，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即可過(guò)P點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程．

解答 解：（1）圓的圓心C為（1，1），CA=CB=1，|PC|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，則切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|=$\sqrt{5-1}$=2，…（4分）
（2）若切線(xiàn)的斜率存在，可設(shè)切線(xiàn)的方程為y-3=k（x-2）
即kx-y-2k+3=0
則圓心到切線(xiàn)的距離$d=\frac{|k-1-2k+3|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=\frac{3}{4}$
故切線(xiàn)的方程為3x-4y+6=0…（8分）
若切線(xiàn)的斜率不存在，切線(xiàn)方程為x=2，此時(shí)直線(xiàn)也與圓相切．…（11分）
綜上所述，過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)的方程為3x-4y+6=0和x=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查勾股定理的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．