Question

10．已知⊙C：x²+y²-2x-4y-20=0，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：直線l與⊙C恒有兩個交點；
（2）若直線l與⊙C的兩個不同交點分別為A，B．求線段AB中點P的軌跡方程，并求弦AB的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的圓心和半徑，整理直線方程為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，求出直線2x+y-7=0，x+y-4=0的交點，判斷它在圓內(nèi)，即可得證；
（2）由題意知，設點P（x，y）為弦AB的中點，連接CP，則CP⊥PQ，由平面幾何知識可得點P的軌跡方程是以CQ為直徑的圓，求得圓心和半徑，注意運用中點坐標公式，再由當Q（3，1）是弦AB的中點時，|AB|最小，運用勾股定理即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：⊙C：x²+y²-2x-4y-20=0，
即（x-1）²+（y-2）²=25，圓心C（1，2），半徑r=5，
又直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
則直線l恒過定點Q（3，1），
由|CQ|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5，
可得Q在圓C內(nèi)，則直線l與⊙C恒有兩個交點；
（2）由題意知，設點P（x，y）為弦AB的中點，
由（1）可知CP⊥PQ，
點P的軌跡方程是以CQ為直徑的圓，
線段CQ的中點為（2，$\frac{3}{2}$），|CQ|=$\sqrt{5}$，
則線段AB中點P的軌跡方程為${（x-2）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{4}$；
由圓的幾何性質可知，當Q（3，1）是弦AB的中點時，|AB|最�。�
弦心距$d=|{CQ}|=\sqrt{5}$，⊙C的半徑為5，
可得|AB|_min=2$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查直線和圓的位置關系的證明，注意運用直線恒過定點，考查線段中點的軌跡方程，注意運用幾何法，考查弦長的最小值，注意運用弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．