Question

19．已知橢圓${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$和點$A（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$、$B（{\frac{1}{2}，1}）$，若橢圓的某弦的中點在線段AB上，且此弦所在直線的斜率為k，則k的取值范圍為（　　）

• A． [-4，-2]
• B． [-2，-1]
• C． [-4，-1]
• D． $[{-1，-\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 由題意設(shè)出橢圓${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$的某弦的兩個端點分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中點為M（x₀，y₀），把P、Q的坐標代入橢圓方程，作差得到PQ的斜率與AB中點坐標的關(guān)系得答案．

解答 解：設(shè)橢圓${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$的某弦的兩個端點分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中點為M（x₀，y₀），
則${{x}_{1}}^{2}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1$，${{x}_{2}}^{2}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1$，
兩式作差可得：${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{4{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$-\frac{4×\frac{1}{2}}{{y}_{0}}=-\frac{2}{{y}_{0}}$，
由題意可知，$\frac{1}{2}≤$y₀≤1，
∴k=$-\frac{2}{{y}_{0}}$（$\frac{1}{2}≤$y₀≤1），則k∈[-4，-2]．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了“中點弦”問題的求解方法，屬中檔題．