【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

【答案】(1) ;.(2) 或.

【解析】

（1）曲線參數(shù)方程消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入即可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，得，根據(jù)，得，分類討論，即可求解.

（1）曲線參數(shù)方程為為參數(shù)，消去參數(shù)，得，

∴曲線的普通方程，

又由曲線的極坐標(biāo)方程為，∴，

根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入得，

整理得，即曲線的直角坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，，

將代入，得，

要使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，即，

由韋達(dá)定理有，根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，，

又由，可得，即或，

∴當(dāng)時(shí)，有，符合題意.

當(dāng)時(shí)，有，符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的值為或.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），且AC=BC，則△ABC的歐拉線的方程為（ ）

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（1）求證：；

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講.

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，實(shí)數(shù)），曲線

（為參數(shù)，實(shí)數(shù)）. 在以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn). 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

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