Question

17．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=3，$AD=2\sqrt{2}$，∠ABC=45°，P點在底面ABCD內的射影E在線段AB上，且PE=2，BE=2EA，F為AD的中點，M在線段CD上，且CM=λCD．
（1）當$λ=\frac{2}{3}$時，證明：平面PFM⊥平面PAB；
（2）當$λ=\frac{1}{3}$時，求平面PAM與平面ABCD所成的二面角的正弦值及四棱錐P-ABCM的體積．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理計算FM，根據勾股定理得出FM⊥DM，即FM⊥AB，結合FM⊥PE得出FM⊥平面PAB，故平面PFM⊥平面PAB；
（2）AM⊥平面PAB，故∠PAB為二面角的平面角，求出AM，代入體積公式計算即可．

解答 解：（1）證明：當λ=$\frac{2}{3}$時，DM=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{1}{3}$AB=1，
又DF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{2}$，∠ADC=∠ABC=45°，
∴FM=$\sqrt{F{D}^{2}+D{M}^{2}-2FD•DM•cos45°}$=1，
∴FM²+DM²=FD²，
∴FM⊥DM．又DM∥AB，
∴FM⊥AB，
∵PE⊥平面ABCD，FM?平面ABCD，
∴PE⊥FM，PE∩AB=E，
∴FM⊥平面PAB，又FM?平面PFM，
∴平面PDM⊥平面PAB．
（2）當$λ=\frac{1}{3}$時，由（1）可知AM⊥平面PAB，
∴AM⊥AB，AM⊥PA，
∴∠PAB為二面角P-AM-B的平面角，
∵PA=$\sqrt{P{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠PAB=$\frac{PE}{PA}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
在△ADM中，由余弦定理得AM=$\sqrt{8+4-2•2\sqrt{2}•2•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
∴S_梯形ABCM=$\frac{1}{2}$（1+3）×2=4，
∴${V_{P-ABCM}}=\frac{1}{3}{S_{梯形ABCD}}×PE=\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．