Question

5．已知$f（x）=x{e^{ax}}-\frac{a}{2}{x^2}$-x+1，a≠0
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若?x₀＞1，使$f（{x_0}）＜\frac{a}{2}$成立，求參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入a值，求出導(dǎo)函數(shù)，找出極值點，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）由題意即$f{（x）_{min}}＜\frac{a}{2}$，當(dāng)a＞0時，f（x）_min=f（1），當(dāng)a＜0，$f（1）＞\frac{a}{2}$恒成立，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出參數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=x{e^x}-\frac{x^2}{2}-x+1$，
f'（x）=e^x+xe^x-x-1=（e^x-1）（x+1）=0時x₁=0，x₂=-1

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	增		減		增

∴f（x）的減區(qū)間為（-1，0）f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞）
（Ⅱ）由題意即$f{（x）_{min}}＜\frac{a}{2}$，
x＞1時，f'（x）=（ax+1）（e^ax-1）=0，
∴${x_1}=-\frac{1}{a}$，x₂=0
當(dāng)a＞0時，
∵x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）單調(diào)遞增，
即f（x）_min=f（1），f（1）=e^a-$\frac{a}{2}$＜$\frac{a}{2}$即e^a-a＜0，
設(shè)g（a）=e^a-a，
a≥0時，g'（x）=e^a-1≥0，
∴g（x）_min=g（1）=1＞0即e^a＞a恒成立，∴無解
當(dāng)a＜0時：

x	（-∞，0）	0	$（{0，-\frac{1}{a}}）$	$-\frac{1}{a}$	$（{-\frac{1}{a}，+∞}）$
g'（x）	+		-		+
g（x）	↑		↓		↑

且g（0）=1＞0，由（1）知$f（1）＞\frac{a}{2}$恒成立，
若?x₀＞1使$f（{x_0}）＜\frac{a}{2}$則$-\frac{1}{a}＞!$且$f（{-\frac{1}{a}}）＜\frac{a}{2}$$-\frac{1}{a}＞1⇒$-1＜a＜0①，
$f（{-\frac{1}{a}}）=-\frac{1}{ae}$$+\frac{1}{2a}+1＜\frac{a}{2}$${（{a-1}）^2}＜2-\frac{2}{e}$$1-\sqrt{2-\frac{2}{e}}＜a$$＜1+\sqrt{2-\frac{2}{e}}$②，
由①②取交集，得參數(shù)a的取值范圍：{a|$1-\sqrt{2-\frac{2}{e}}＜a＜0$}．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式、函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，是中檔題．