Question

3．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（1，$\frac{3}{2}$），左右焦點為F₁、F₂，右頂點為A，上頂點為B，且|AB|=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$|F₁F₂|．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線l：y=-x+m與橢圓E交于C、D兩點，與以F₁、F₂為直徑的圓交于M、N兩點，且$\frac{{\sqrt{7}|CD|}}{|MN|}$=$\frac{36}{7}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓焦點在x軸上，將點（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，由$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$，c²=a²-b²，聯(lián)立即可求得a和b的值，即可求得橢圓E的方程；
（2）圓心（0，0）到直線l的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$，所以|MN|=$2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$，將直線方程方程代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式可知：丨CD丨=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}\sqrt{21-3{m^2}}$，由$\frac{{\sqrt{7}|CD|}}{|MN|}=\frac{36}{7}$得$\sqrt{7}×4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{21-3{m^2}}}}{7}=\frac{36}{7}×2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$，整理即可求得m的值．

解答 解：（1）橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
∵橢圓E過點$（{1，\frac{3}{2}}）$，
∴將點（1，$\frac{3}{2}$），代入橢圓方程得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，①
由已知$|AB|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，
∴$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$，即a²+b²=7c²②
又∵c²=a²-b²③，
將①②③聯(lián)立得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（5分）
（2）根據(jù)題意，以F₁、F₂為直徑的圓方程為x²+y²=1，
所以圓心（0，0）到直線l的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$，所以|MN|=$2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$，…（7分）
設C（x₁，y₁），D（x₁，y₁），聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，
化簡得7x²-8mx+4m²-12=0，△=48（7-m²）＞0，
${x_1}+{x_2}=\frac{8m}{7}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{7}$…（9分）
由丨CD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴$|CD|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（\frac{8m}{7}）}^2}-4×\frac{{4{m^2}-12}}{7}}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}\sqrt{21-3{m^2}}$，…（10分）
由$\frac{{\sqrt{7}|CD|}}{|MN|}=\frac{36}{7}$得$\sqrt{7}×4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{21-3{m^2}}}}{7}=\frac{36}{7}×2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$，
整理得${m^2}=\frac{1}{4}$，即$m=±\frac{1}{2}$，
經檢驗，當$m=±\frac{1}{2}$時，△=112（7-m²）＞0成立，
∴$m=±\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．