Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）是以4為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）=ln（x²-x+b）．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上有5個零點，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A、-1＜b≤1
• B、

  1

  4

  ≤b≤

  5

  4

• C、-1＜b＜1或b=

  5

  4

• D、

  1

  4

  ＜b≤1或b=

  5

  4

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的周期性，可得0、±2是函數(shù)f（x）的零點，將函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)為5，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（0，2）時，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，由此構(gòu)造關(guān)于b的不等式組，解不等式組可得實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：由題意知，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即0是函數(shù)f（x）的零點，
因為f（x）是定義在R上且以4為周期的周期函數(shù)，
所以f（-2）=f（2），且f（-2）=-f（2），則f（-2）=f（2）=0，
即±2也是函數(shù)f（x）的零點，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)為5，
且當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）=ln（x²-x+b），
所以當(dāng)x∈（0，2）時，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，
即

△=1-4b＜0 ( 1 2 )2- 1 2 +b=1

或

△=1-4b＜0 02-0+b-1≤0 22-2+b-1＞0

，
解得

1

4

＜b≤1或b=

5

4

，
故選：D．

點評：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)根的分布問題，難度比較大．