Question

11．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，AB=AC=1，∠BAC=90，點D是棱B₁C₁的中點．
（1）求證：AB₁∥平面A₁DC；
（2）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）連結AC₁交A₁C于O點，連結OD，由中位線定理可得OD∥AB₁，故而AB₁∥平面A₁DC；
（2）由正方形的性質(zhì)得出A₁A⊥A₁C₁，A₁A⊥A₁B₁，故A₁A⊥平面A₁B₁C₁，于是CC₁⊥平面A₁B₁C₁，得出CC₁⊥A₁D．又三線合一得出A₁D⊥B₁C₁，故而A₁D⊥平面BB₁C₁C．

解答 證明：（1）連結AC₁交A₁C于O點，連結OD，
∵四邊形AA₁C₁C是正方形，∴O是AC₁的中點，
又點D是棱B₁C₁的中點，
∴OD∥AB₁，∵AB₁?平面A₁DC，OD?平面A₁DC，
∴AB₁∥平面A₁DC．
（2）∵側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，
∴A₁A⊥A₁C₁，A₁A⊥A₁B₁，又A₁C₁?平面A₁B₁C₁，A₁B₁?平面A₁B₁C₁，A₁B₁∩A₁C₁=A₁，
∴A₁A⊥平面A₁B₁C₁，∵AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁，∵A₁D?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁D．
又∵A₁B₁=AB=1，A₁C₁=AC=1，
∴A₁B₁=A₁C₁，∵D是B₁C₁的中點，
∴A₁D⊥B₁C₁，
又CC₁?平面BCC₁B₁，B₁C₁?平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁D⊥平面BCC₁B₁．

點評 本題考查了線面平行與垂直的判定，構造平行線或垂線是證明問題的關鍵，需要掌握幾種常用的構造方法．