Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+（2a+1）x²+3a（a+2）x+1，a∈R．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）當a=-1時，求函數(shù)y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出a=-1的函數(shù)的導數(shù)，求出單調區(qū)間和極值，以及端點的函數(shù)值，即可得到最值．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+1，
∴f（3）=19，∵f′（x）=x²+2x，
曲線在點（3，19）處的切線的斜率k=f′（3）=15
∴所求的切線方程為y-19=15（x-3），即y=15x-26，
（2）當a=-1時，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+1，
∵f′（x）=x²-2x-3，令f′（x）=0得x₁=-1，x₂=3，
x₂∉[0，4]，當x∈（0，3）時，f'（x）＜0，
即函數(shù)y=f（x）在（0，3）上單調遞減，
當x∈（3，4）時，f′（x）＞0，即函數(shù)y=f（x）在（3，4）上單調遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，4]上有最小值，f（x）_最小值=f（3）=-8，
又f（0）=1，f（4）=-$\frac{17}{3}$；
∴當a=-1時，函數(shù)y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值分別為1，-8．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調區(qū)間、求極值和最值，考查運算能力，屬于中檔題．