Question

3．如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連結(jié)DB并延長交⊙O于點E，已知AC=BD=3．
（Ⅰ）求AB•AD的值；
（Ⅱ）求線段AE的長．

Answer 1

分析 （I）利用圓的切線的性質(zhì)得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，從而有△ACB∽△DAB，$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{BD}$，由此得到所證．
（II）利用圓的切線的性質(zhì)得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{BD}$，即AE•BD=AB•AD，再結(jié)合（I）的結(jié)論AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．

解答 解：（Ⅰ）∵AC切⊙O′于A，∴∠CAB=∠ADB，
同理∠ACB=∠DAB，∴△ACB∽△DAB，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{BD}$，即AC•BD=AB•AD．
∵AC=BD=3，∴AB•AD=9．…5分
（Ⅱ）∵AD切⊙O于A，∴∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{BD}$，即AE•BD=AB•AD．
由（Ⅰ）可知，AC•BD=AB•AD，
∴AE=AC=3．…10分．

點評 本題主要考查圓的切線的性質(zhì)，利用兩個三角形相似得到成比列線段是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．