Question

【題目】在四棱錐中，是等邊三角形，點(diǎn)在棱上，平面平面．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；

（3）設(shè)直線與平面相交于點(diǎn)，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）

【解析】

（1）取中點(diǎn)為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證；

（2）以為原點(diǎn),過(guò)作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點(diǎn)在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解；

（3）設(shè),,則,求得,,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進(jìn)而求解.

（1）證明:取中點(diǎn)為,連接,

因?yàn)?/span>是等邊三角形,所以,

因?yàn)?/span>且相交于,所以平面,所以,

因?yàn)?/span>,所以,

因?yàn)?/span>,在平面內(nèi),所以,

所以.

（2）以為原點(diǎn),過(guò)作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,

因?yàn)?/span>在棱上,可設(shè),

所以,

設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?/span>,

所以,即,令,可得,即,

設(shè)直線與平面所成角為,所以,

可知當(dāng)時(shí),取最大值.

（3）設(shè),則有,得,

設(shè),那么,所以,

所以.

因?yàn)?/span>,

,

所以.

又因?yàn)?/span>,所以,

,設(shè)平面的法向量為,

則,即,,可得,即

因?yàn)?/span>在平面內(nèi),所以,所以,

所以,即,

所以或者（舍）,即.