Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為 ，左準線 l與x軸的交點為M，，P為橢圓C上的動點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P與 A₁，A₂均不重合，設直線 PA₁與 PA₂的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題得，設所求橢圓方程為；
則有
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）（y₀≠0），，，則，即，
則，，
即，
∴k₁•k₂為定值．
（Ⅲ）設M（x，y），其中．
由已知及點P在橢圓C上可得，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中．
①當時，化簡得y²=6，
所以點M的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②當時，方程變形為，其中．
當時，M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足的部分；
當時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足的部分；
當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓．
分析：（Ⅰ）設橢圓方程為 ，半焦距為c，由題意能夠導出a，b，c，寫出橢圓方程即可；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）（y₀≠0），分別求出k₁，k₂的表達式，再求得k₁•k₂為定值即可；
（Ⅲ）設M（x，y），先由已知及點P在橢圓C上可得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，下面對λ的值進行分類討論：①當時，②當時，其中再分成三類：一類是：當時，另一類是：當時，最后一類是：當λ≥1時，分別說明軌跡是什么曲線即得．
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．