Question

正三棱錐D-ABC中，底面三角形ABC的面積為4

3

，A₁、B₁、C₁是棱DA、DB、DC的中點，E、F在線段A₁B₁、A₁C₁上，且EF∥B₁C₁．則△AEF和四邊形EFCB在底面ABC上的射影的面積之和為（　�。�

• A、

  2 3

  3

• B、

  4 3

  3

• C、

  8 3

  3

• D、與EF位置有關，總面積不確定

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：首先，設

EF

B1C1

=k，然后，根據(jù)S_△ABC=4

3

，得到AB=4，從而得到EF=2k．最后，建立面積關系式，進行判斷即可．

解答： 解：由題意設

EF

B1C1

=k，
∵

BC

B1C1

=2，
∴

EF

BC

=

k

2

，
∵S_△ABC=4

3

，
∴AB=4，∴EF=2k．
∴△AEF在底面ABC上的射影的面積：

1

2

2

3

k×2k=2

3

k²，
∴四邊形EFCB在底面ABC上的射影的面積：

1

2

（4+2k）（2

3

-2

3

k）=2

3

（-k²-k+2）
∴△AEF和四邊形EFCB在底面ABC上的射影的面積之和為：
4

3

-2

3

k，
故面積與k有關，
即與EF的位置有關，
故選：D．

點評：本題重點考查了空間中面積的計算等知識，屬于中檔題．