Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且同時(shí)滿足：①函數(shù)f（x）的圖象左移1個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象的對(duì)應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)；②對(duì)任意大于1的不等實(shí)數(shù)a、b，總有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

1

f(x)

+

1

2-x

，如果f（0）=1，判斷函數(shù)g（x）是否有負(fù)零點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）如果x₁＜0，x₂＞0且x₁+x₂+2＜0，比較f（-x₁）與f（-x₂）的大小，并簡(jiǎn)述你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題考查（Ⅰ）利用已知的單調(diào)性和對(duì)稱性，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）利用反證法，通過(guò)反證假設(shè)推導(dǎo)出與題設(shè)矛盾，從而得到函數(shù)g（x）沒(méi)有負(fù)零點(diǎn)；（Ⅲ）通過(guò)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系和單調(diào)性，比較出f（-x₁）與f（-x₂）的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）由條件①得，f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
由條件②得，a＞b＞1時(shí)，f（a）＞f（b）恒成立；
b＞a＞1時(shí)，f（b）＞f（a）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減．
綜上所述，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）．
（Ⅱ）若g（x）有負(fù)零點(diǎn)x₀，則g（x）=0有負(fù)實(shí)根x₀，
于是g（x₀）=

1

f(x0)

+

1

2-x0

=0，
∴f（x₀）=x₀-2．
∵f（0）=1，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，
∴f（x₀）＞1．
∴x₀-2＞1，即x₀＞3，與x₀＜0矛盾，
所以g（x）沒(méi)有負(fù)零點(diǎn)．
（Ⅲ）設(shè)A（m，f（m）），B（n，f（n））為f（x）上關(guān)于直線x=1對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，
則

m+n

2

=1，f（m）=f（n）．
∴m=2-n，
∴f（m）=f（2-n）=f（n），
∴f（-x₂）=f（2+x₂）．
∵x₁＜0，x₂＞0且x₁+x₂+2＜0，
∴2＜x₂+2＜-x₁，
∵f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（-x₁）＞f（2+x₂）=f（-x₂），
即f（-x₁）＞f（-x₂）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱性，本題有一定的能力要求，計(jì)算量適中，屬于中檔題．