Question

18．x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-2y-4≤0}\\{2x-y+4≥0}\end{array}\right.$，若z=ax-y取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值$\frac{1}{2}$ ．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，得到直線y=ax-z斜率的變化，從而求出a的取值．

解答 解：作出約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-2y-4≤0}\\{2x-y+4≥0}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．
由z=ax-y得y=ax-z，即直線的截距最小，z最大．
若a=0，此時(shí)y=-z，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)只在B處取得最大值，不滿足條件，
若a＞0，目標(biāo)函數(shù)y=ax-z的斜率k=a＞0，要使z=ax-y取得最大值的最優(yōu)解AB唯一，滿足題意
即：直線y=ax-z與直線x-2y-4=0平行，此時(shí)a=$\frac{1}{2}$，
若a＜0，目標(biāo)函數(shù)y=ax-z與AC平行，要使z=ax-y取得最大值的最優(yōu)解B唯一，不滿足題意．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論，同時(shí)需要弄清楚最優(yōu)解的定義．