Question

8．給定兩個長度為1的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它們的夾角為90°．點C在以O(shè)為圓心的圓弧$\widehat{AB}$上變動，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，則xy的范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． [0，1]
• C． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• D． $[{0，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 對式子$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$兩邊平方可得x²+y²=1，再利用基本不等式即可得出xy的范圍．

解答 解：由題意可知：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴x²+y²=1，
由x²+y²≥2xy得1≥2xy，∴xy≤$\frac{1}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號，
由x≥0，y≥0，
∴xy≥0．
即有0≤xy≤$\frac{1}{2}$．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的幾何意義，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．