【題目】已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上不同的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過原點(diǎn)，求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，根據(jù)在橢圓上，利用橢圓的定義得到，又得解.

（2）分斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性，可知，求得A，B坐標(biāo)求解.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)以為直徑的圓過原點(diǎn)，則，再利用直角三角形中線定理有，將韋達(dá)定理代入，兩式聯(lián)立求解.

（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義：，

又，

，橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知，

不妨設(shè)，則，，此時(shí).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立，得，

由，得，

由韋達(dá)定理得，，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過原點(diǎn)，

所以，

即，

即，滿足式.

設(shè)的中點(diǎn)是，則，，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，

又因?yàn)?/span>，所以的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，過點(diǎn)作平面與正四棱柱的三條側(cè)棱，，分別交于，，，且，若多面體和多面體的體積比為3∶5，則截面的周長為_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱臺(tái)中，底面是菱形，底面，且，，是棱的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，如表：(平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘)

平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘

總?cè)藬?shù)

20

36

44

50

40

10

將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.

（1）請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表；

鍛煉不達(dá)標(biāo)

鍛煉達(dá)標(biāo)

合計(jì)

男

女

20

110

合計(jì)

并通過計(jì)算判斷，是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出5人，進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流，從參加體會(huì)交流的5人中，隨機(jī)選出2人作重點(diǎn)發(fā)言，求恰好選出一名男生的概率.

參考公式：，其中

臨界值表

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)，若有的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（ ）人

附表：

0.050

0.010

3.841

6.635

附：

A.20B.40C.60D.80

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)為，為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）當(dāng)橢圓內(nèi)切于圓時(shí)，設(shè)動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，問：的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)口袋中有4個(gè)白球，2個(gè)黑球，每次從袋中取出一個(gè)球.

（1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；

（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的條件下，第二次取出的是黑球的概率；

（3）若有放回的取3次球，求取出黑球次數(shù)的分布列及.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，，分別是線段，的中點(diǎn)，底面是正三角形，延長到點(diǎn)，使得.

（1）為線段上確定一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，求的值；

（2）當(dāng)平面，且時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線l：y＝kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1，0），求△PMQ的面積．

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