Question

7．已知點(diǎn)P（2，0），圓C的圓心在直線x-y-5=0上且與y軸切于點(diǎn)M（0，-2）．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l垂直平分弦AB，這樣的實(shí)數(shù)a是否存在，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圓C的圓心在直線x-y-5=0上且與y軸切于點(diǎn)M（0，-2），求出圓心與半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用反證法，先假設(shè)滿足題意得點(diǎn)存在，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到圓心C必然在直線l上，由點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)求出直線PC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線AB的斜率，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的值，然后由已知直線ax-y+1=0，變形得到y(tǒng)=ax+1，代入（1）中求出的圓C的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，得到根的判別式大于0，即可求出a的取值范圍，發(fā)現(xiàn)求出的a的值不在此范圍中，故假設(shè)錯(cuò)誤，則不存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線l垂直平分弦AB．

解答 解：（1）∵圓C的圓心在直線x-y-5=0上且與y軸切于點(diǎn)M（0，-2），
∴設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=-2，∴圓心C（3，-2），半徑r=|MC|=3，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y+2）²=9…（5分）
（2）把直線ax-y+1=0，即y=ax+1．代入圓C的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直線ax-y-1=0交圓C于A，B兩點(diǎn)，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0…（7分）
設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，而k_AB=a=-$\frac{1}{{k}_{PC}}$，所以a=$\frac{1}{2}$，…（9分）
由于$\frac{1}{2}＞0$，故滿足題意的實(shí)數(shù)a不存在．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了利用待定系數(shù)法求圓的方程，垂直平分線的性質(zhì)及方程與函數(shù)的綜合．此題第二問(wèn)利用的方法是反證法，此方法的步驟為：先否定結(jié)論，然后利用正確的推理得出與已知，定理及公理矛盾，得到假設(shè)錯(cuò)誤，故原結(jié)論成立．