Question

設(shè)動直線l垂直x軸，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，P是l上滿足|PA|•|PB|=1的點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意得：A（x，y），B（x，-y），由|PA|•|PB|=1得線段在坐標(biāo)軸上的射影求出點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式，再結(jié)合橢圓的方程式即可求得P點(diǎn)的軌跡方程．
解答：解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意得：A（x，y）B（x，-y）
由|PA|•|PB|=1得：|y-y|•|y+y|=|y²-y²|=1，即：y²=y²±1（6分）
代入中得：（10分）
也即：及
故P點(diǎn)的軌跡方程為：及（12分）
所以P點(diǎn)的軌跡是兩橢圓夾在兩直線x=±2之間的兩部分弧長．（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，求點(diǎn)的軌跡方程的方法，利用線段在坐標(biāo)軸上的射影求出點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．