Question

設(shè)動直線l垂直x軸，且與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1交于A、B兩點，P是l上滿足|PA|•|PB|=1的點，求P點的軌跡．

Answer 1

分析：先設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），依題意得：A（x，y₀），B（x，-y₀），由|PA|•|PB|=1得線段在坐標(biāo)軸上的射影求出點的坐標(biāo)的關(guān)系式，再結(jié)合橢圓的方程式即可求得P點的軌跡方程．

解答：解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），依題意得：A（x，y₀）B（x，-y₀）
由|PA|•|PB|=1得：|y-y₀|•|y+y₀|=|y²-y₀²|=1，即：y₀²=y²±1（6分）
代入

x2

4

+

y2

2

=1(-2＜x＜2)中得：

x2

4

+

y2

2

±

1

2

=1(-2＜x＜2)（10分）
也即：

x2

6

+

y2

3

=1(-2＜x＜2)及

x2

2

+y2=1(-2＜x＜2)
故P點的軌跡方程為：

x2

6

+

y2

3

=1及

x2

2

+y2=1（12分）
所以P點的軌跡是兩橢圓夾在兩直線x=±2之間的兩部分弧長．（14分）

點評：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，求點的軌跡方程的方法，利用線段在坐標(biāo)軸上的射影求出點的坐標(biāo)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．