Question

16．函數(shù)f（x）=sin³x+cos2x-cos²x-sinx的最大值等于（　�。�

• A． $\frac{4}{27}$
• B． $\frac{5}{27}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{16}{27}$

Answer 1

分析 通過三角函數(shù)的平方關(guān)系式化簡函數(shù)的表達式，利用換元法通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值即可．

解答 解：y=sin³x+cos2x-cos²x-sinx=sin³x+1-2sin²x-cos²x-sinx=sin³x-sin²x-sinx，令sinx=t∈[-1，1]，
∴y=t³-t²-t，
∴y′=3t²-2t-1，
令3t²-2t-1=0，
可得t=1或t=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)t∈[-1，-$\frac{1}{3}$]時，函數(shù)y是增函數(shù)，t∈[-$\frac{1}{3}$，1]時函數(shù)是減函數(shù)，
∴函數(shù)y的最大值為：（-$\frac{1}{3}$）³-（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{27}$．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的求法，三角函數(shù)的化簡與求值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．