Question

20．設(shè)矩形ABCD（AB＞AD）的周長為24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點P，設(shè)AB=x，求△ADP的最大面積及相應(yīng)x的值．

Answer 1

分析 由題意可知，AB=x，即AD=12-x．設(shè)PC=a，則DP=x-a，AP=a，再根據(jù)△ADP為直角三角形，得出a關(guān)于x的表達式，再用三角形面積計算公式，得出△ADP的面積關(guān)于x的表達式，再利用基本不等式可得△ADP的面積的最大值及相應(yīng)的x的值．

解答 解：由題意可知，矩形ABCD（AB＞CD）的周長為24，
AB=x，即AD=12-x，
設(shè)PC=a，則DP=x-a，AP=a，而△ADP為直角三角形，
∴（12-x）²+（x-a）²=a²，
∴$a=x+\frac{72}{x}-12$，
∴$DP=12-\frac{72}{x}$，
∴${S_{△ADP}}=\frac{1}{2}×AD×DP=\frac{1}{2}×（12-x）×（12-\frac{72}{x}）$
=$108-\frac{432}{x}-6x$$≤108-2\sqrt{\frac{432}{x}•6x}$=$108-72\sqrt{2}$．
當且僅當$\frac{432}{x}=6x$時，即$x=6\sqrt{2}$，此時$AD=12-6\sqrt{2}$滿足AB＞AD，
即$x=6\sqrt{2}$時△ADP取最大面積為$108-72\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．