Question

15．已知函數f（x）=ax²-4ax+2+3b（a＞0），若f（x）在區(qū)間[3，4]上有最大值5，最小值-4，
（1）求a，b的值
（2）若g（x）=f（x）+（m+1）x在[3，5]上是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求f（x）的對稱軸為x=2，而a＞0，從而可判斷f（x）在[3，4]上單調遞增，得到關于a，b的方程組，這樣即可求出a，b的值；
（2）先求出g（x）的解析式，求出對稱軸，根據g（x）在[3，5]上單調，得到關于m的不等式，這樣即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）的對稱軸為x=2，a＞0；
∴f（x）在[3，4]上單調遞增；
又f（x）在[3，4]上的最大值為5，最小值為-4；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=9a-12a+2+3b=-4}\\{f（4）=16a-16a+2+3b=5}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（2）由（1）f（x）=3x²-12x+5，
∴g（x）=3x²+（m-11）x+5，
∴g（x）的對稱軸為x=-$\frac{m-11}{6}$，
又g（x）在[3，5]上單調；
∴-$\frac{m-11}{6}$≤3，或-$\frac{m-11}{6}$≥5；
∴m≥-7，或m≤-19；
∴m的取值范圍為（-∞，-19]∪[-7，+∞）．

點評 考查二次函數的對稱軸，二次函數的單調性，以及根據單調性定義求函數在閉區(qū)間上的最值．