Question

18．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα-1}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$，其中t為參數(shù)，求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）先消去參數(shù)，求出曲線的普通方程，然后利用普通方程和極坐標(biāo)方程之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）直線方程的極坐標(biāo)為$θ=\frac{π}{3}$，代入曲線C的極坐標(biāo)方程求出ρ即可．

解答 解（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα-1\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為$\frac{{{{（{x+1}）}^2}}}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入并化簡得：$ρ=\frac{3}{2+cosθ}$，
即曲線C的極坐標(biāo)方程為 $ρ=\frac{3}{2+cosθ}$；
（2）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$，得直線的傾斜角滿足tanθ=$\frac{y}{x}$=$\sqrt{3}$，即$θ=\frac{π}{3}$，
代入$ρ=\frac{3}{2+cosθ}$得弦長為$\frac{6}{5}$．

點評 本題主要考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程以及普通方程之間的轉(zhuǎn)化，根據(jù)相應(yīng)的轉(zhuǎn)化公式是解決本題的關(guān)鍵．