Question

9．已知函數(shù)f（x）=-x|x-a|+1（x∈R）
（1）若函數(shù)f（x）恰有兩個零點，求實數(shù)a的值；
（2）對于任意a∈（0，3），存在x₀∈[1，2]，使得不等式k≤f（x₀）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)與零點的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可．
（2）去絕對值符號，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+1，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax+1，x＜a}\end{array}\right.$，對a分情況討論，0＜a≤1時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，求出函數(shù)的最小值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由f（x）=-x|x-a|+1=0得x|x-a|=1，
當(dāng)x=0時方程無解，
則x≠0，則方程等價為|x-a|=$\frac{1}{x}$，
作出函數(shù)=|x-a|和y=$\frac{1}{x}$的圖象如圖：
當(dāng)a≤0時，兩個函數(shù)只有一個交點，
當(dāng)a＞0時，若兩個函數(shù)恰有兩個交點，
則當(dāng)x＜a時，兩個函數(shù)相切，
即a-x=$\frac{1}{x}$有兩個解，
即-x²+ax-1=0，
則判別式△=a²-4=0，
得a=2或a=-2，（舍）．
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+1，x≥a\\-{x^2}+ax+1，x＜a\end{array}\right.$，
①當(dāng)0＜a≤1時，x≥1≥a，這時，f（x）=x²-ax+1，對稱軸$x=\frac{a}{2}≤\frac{1}{2}＜1$，
所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，f（x）_min=f（1）=2-a；
②當(dāng)1＜a≤2時，x=a時函數(shù)f（x）_min=f（a）=1；
③當(dāng)2＜a＜3時，x≤2＜a，這時，f（x）=-x²+ax+1，對稱軸$x=\frac{a}{2}∈（1，\frac{3}{2}）$，
∵f（1）=a，f（2）=2a-3，（2a-3）-a=a-3＜0
∴函數(shù)f（x）_min=f（2）=2a-3；
即函數(shù)的最小值f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2-a}&{0＜a≤1}\\{1}&{1＜a≤2}\\{2a-3}&{2＜a＜3}\end{array}\right.$，
對應(yīng)的圖象如圖：
則1≤[f（x）_min]≤3，
若不等式k≤f（x₀）成立，
則k≤1．

點評 本題考查二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題和函數(shù)圖象交點個數(shù)等知識，去絕對值求出函數(shù)的解析式，并對各段函數(shù)的最值的求解是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力和分析解決問題的能力，屬難題．