Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線 C₂的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ-4=0．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線  C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P為曲線C₁上一點(diǎn)，Q為曲線 C₂上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的方法，可得曲線C₁的普通方程和曲線  C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）利用參數(shù)方法，求|PQ|的最小值．

解答 解：（1）由曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ得，曲線C₁的普通方程得$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
由ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ-4=0得，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x-$\sqrt{2}$y-4=0…（5分）
（2）設(shè)P（2$\sqrt{2}$cosθ，2$\sqrt{2}$sinθ），則點(diǎn)P到曲線C₂的距離為d=$\frac{|2\sqrt{2}cosθ-2\sqrt{2}sinθ-4|}{\sqrt{1+2}}$
=$\frac{|4-4cos（θ+45°）|}{\sqrt{3}}$，…（8分）
當(dāng)cos（θ+45°）=1時(shí)，d有最小值0，所以|PQ|的最小值為0…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．