Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≤0\\{x^2}-2x+a+1，x＞0\end{array}$，若函數(shù)g（x）=f（x）-ax-1有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

Answer 1

分析 由題意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1與y=f（x）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，x≤0，f（x）=e^x與h（x）=ax+1有1個(gè)交點(diǎn)（0，1），函數(shù)g（x）=f（x）-ax-1有4個(gè)零點(diǎn)，只需要x≤0，f（x）=e^x與h（x）=ax+1有另1個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)在（0，1）處切線的斜率，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1與y=f（x）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
x≤0，f（x）=e^x與h（x）=ax+1有1個(gè)交點(diǎn)（0，1），
∵函數(shù)g（x）=f（x）-ax-1有4個(gè)零點(diǎn)，
∴只需要x≤0，f（x）=e^x與h（x）=ax+1有另1個(gè)交點(diǎn)
x≤0，f′（x）=e^x，f′（0）=1，
∴a＜1，
綜上所述，0＜a＜1，
故答案為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．