Question

4名學(xué)生和3名教師站成一排照相，問(wèn)：
（1）中間三個(gè)位置排教師，有多少種排法？
（2）一邊是教師，另一邊是學(xué)生的排法有多少種？
（3）首尾不排教師有多少種排法？
（4）任意2名教師不能相鄰的排法有多少種？

Answer 1

分析：（1）先排教師有

A

3 3

種方法，再排學(xué)生有

A

4 4

種方法，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果．
（2）教師和學(xué)生各看成一個(gè)大元素，可以交換位置，共有

A

3 3

A

4 4

A

2 2

=288種不同的排法．
（3）首尾兩個(gè)位置排學(xué)生有

A

2 4

種，其余5個(gè)位置可任意其余的5人，有

A

5 5

種方法，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果
（4）先排4名學(xué)生，有

A

4 4

種方法；再把3個(gè)教師插入4個(gè)學(xué)生形成的5個(gè)空中，方法有

A

3 5

種．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，求得結(jié)果．

解答：解：（1）先排教師有

A

3 3

種方法，再排學(xué)生有

A

4 4

種方法，故共有

A

3 3

×

A

4 4

=144種．
（2）教師和學(xué)生各看成一個(gè)大元素，可以交換位置，共有

A

3 3

A

4 4

A

2 2

=288種不同的排法．
（3）首尾兩個(gè)位置排學(xué)生共有

A

2 4

種，其余5個(gè)位置可以排余下的5人，有

A

5 5

種方法，
所以，共有

A

2 4

A

5 5

=1440種．
（4）采用“插空法”，先排4名學(xué)生，有

A

4 4

種方法；
再把3個(gè)教師插入4個(gè)學(xué)生形成的5個(gè)空中，方法有

A

3 5

種．
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所有滿足條件的排法共有

A

4 4

A

3 5

=1440種．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排．不相鄰問(wèn)題用插空法，屬于中檔題．