Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n（n+1），n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：${a_n}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}，n∈{N^*}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）${a_n}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}（{n≥1}）$，${a_{n+1}}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}+\frac{{{b_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}+1}}$，相減即可得出．
（3）${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}=n（{{3^n}+1}）=n•{3^n}+n$，利用錯(cuò)位相減法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，知a₁=2滿足該式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n．
（2）${a_n}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}（{n≥1}）$，①
${a_{n+1}}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}+\frac{{{b_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}+1}}$，②
②-①得$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}+1}}={a_{n+1}}-{a_n}=2$，${b_{n+1}}=2（{{3^{n+1}}+1}）$，
而b₁=8，故${b_n}=2（{{3^n}+1}）$（n∈N*）．
（3）∵${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}=n（{{3^n}+1}）=n•{3^n}+n$，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），
令${H_n}=1×3+2×{3^2}+3×{3^3}+…+n×{3^n}$，③
則$3{H_n}=1×{3^2}+2×{3^3}+3×{3^4}+…+n×{3^{n+1}}$，④
③-④得，$-2{H_n}=3+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n×{3^{n+1}}$=$\frac{{3（{1-{3^n}}）}}{1-3}-n×{3^{n+1}}$，${H_n}=\frac{{（{2n-1}）•{3^{n+1}}+3}}{4}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和${T_n}=\frac{{（{2n-1}）•{3^{n+1}}+3}}{4}+\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．