Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+1在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在x=$\frac{1}{e}$處的切線方程；
（Ⅱ）求證：f（x）≤0．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=$\frac{1}{x}$-m，則f′（1）=1-m=0，解得m．可得f（x）=lnx-x+1，${f}^{′}（\frac{1}{e}）$，$f（\frac{1}{e}）$，利用點斜式即可得出．
（II）由（I）可得：f（x）=lnx-x+1，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，只要證明f（x）_max≤0即可．

解答 （I）解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-m，則f′（1）=1-m=0，解得m=1．
∴f（x）=lnx-x+1，${f}^{′}（\frac{1}{e}）$=e-1，$f（\frac{1}{e}）$=-1-$\frac{1}{e}$+1=-$\frac{1}{e}$，
∴曲線y=f（x）在x=$\frac{1}{e}$處的切線方程為：y+$\frac{1}{e}$=（e-1）（x-$\frac{1}{e}$）．
（II）證明：由（I）可得：f（x）=lnx-x+1，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
可得：0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；1＜x時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值即最大值．
∴f（x）_max=f（1）=0．
∴f（x）≤0．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值及其切線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．