Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=e^ax+λlnx，其中a＜0，e是自然對數(shù)的底數(shù)
（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，求λ的取值范圍；
（Ⅱ）若0＜λ＜$\frac{1}{e}$，證明：函數(shù)f（x）有兩個極值點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論λ的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，集合題意確定λ的范圍即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ae^ax+$\frac{λ}{x}$=$\frac{a{xe}^{ax}+λ}{x}$，（x＞0），
①若λ≤0，則f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）遞減，
②若λ＞0，令g（x）=axe^ax+λ，其中a＜0，x＞0，
則g′（x）=ae^ax（1+ax），
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{a}$，
故x∈（0，-$\frac{1}{a}$）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
故x=-$\frac{1}{a}$時，g（x）取極小值也是最小值g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$，
故λ-$\frac{1}{e}$≥0即λ≥$\frac{1}{e}$時，g（x）≥0，
此時f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增，
綜上，所求λ的范圍是（-∞，0]∪[$\frac{1}{e}$，+∞）；
（Ⅱ）f′（x）=ae^ax+$\frac{λ}{x}$=$\frac{a{xe}^{ax}+λ}{x}$，（x＞0），
令g（x）=axe^ax+λ，其中a＜0，x＞0，
求導得：g′（x）=ae^ax（1+ax），
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{a}$，
x∈（0，-$\frac{1}{a}$）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
x=-$\frac{1}{a}$時，g（x）取得極小值，也是最小值g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$，
∵0＜λ＜$\frac{1}{e}$，∴g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$＜0，又g（0）=λ＞0，
∴g（-$\frac{1}{a}$）g（0）＜0，
而x→+∞時，f′（x）→λ＞0，
∴函數(shù)f（x）有兩個極值點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．