Question

1．已知α∈R，則函數(shù)f（x）=1-sin²（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）的最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=1-sin²（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）
=1-$\frac{1-cos2（x+α）}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2（x+α）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2（x+α）+$\frac{1}{2}$cos2（x+α）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x+α）+$\frac{π}{4}$]
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+2α+$\frac{π}{4}$）；
當(dāng)2x+2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即x=-α+$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z時(shí)；
f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．