Question

函數(shù)f（x）=min（2

x

，|x-2|}，其中min（a，b）=

a，a≤b b，a＞b

，若動直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個不同的交點，它們的橫坐標分別為x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的最大值（　　）

• A、2
• B、3
• C、1
• D、不存在

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由f（x）表達式作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可求得符合條件的m的取值范圍，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通過解方程可用m把x₁，x₂，x₃分別表示出來，利用基本不等式即可求得x₁•x₂•x₃的最大值．

解答： 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：
由

y=2 x y=|x-2|

，解得A（4-2

3

，2

3

-2），
由圖象可得，當直線y=m與f（x）圖象有三個交點時m的范圍為：0＜m＜2

3

-2．
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
則由2

x1

=m得x₁=

m2

4

，由|x₂-2|=2-x₂=m，
得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，
得x₃=m+2，且2-m＞0，m+2＞0，
∴x₁•x₂•x₃=

m2

4

•（2-m）•（2+m）=

m2

4

（4-m²）≤

1

4

（

m2+4-m2

2

）²=1，
當且僅當m²=4-m²．
即m=

2

時取得等號，
∴x₁•x₂•x₃存在最大值為1．
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查基本不等式在求函數(shù)最值中的應用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學生綜合運用知識分析解決新問題的能力，屬于中檔題．