Question

如圖，P為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a、b為正常數(shù)）上任一點，過P點作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A、B兩點，若

PA

=-2

.

PB

．
（Ⅰ）求證：A、B兩點的橫坐標之積為常數(shù)；
（Ⅱ）求△AOB的面積（其中O為原點）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出雙曲線的漸近線方程，設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=-

b

a

x₁，y₂=

b

a

x₂，運用定比分點坐標公式，得到x，y的關系式，再代入雙曲線方程，化簡整理即可得證；
（Ⅱ）求得|OA|，|OB|，再求兩漸近線的夾角的正弦，由三角形的面積公式，計算即可得到．

解答： （Ⅰ）證明：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁=-

b

a

x₁，y₂=

b

a

x₂，
∵

AP

=2

PB

，
∴x=

x1+2x2

3

，y=

y1+2y2

3

=

- b a x1+ 2b a x2

3

=

b

a

•

-x1+2x2

3

，
由點P（x，y）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
∴

(x1+2x2)2

9a2

-

(-x1+2x2)2

9a2

=1，
化簡得：x₁x₂=

9a2

8

，
即有A、B兩點的橫坐標之積為常數(shù)；
（Ⅱ）解：|OA|=

x12+ b2 a2 x12

=

a2+b2

a

|x₁|，
同理可得|OB|=

a2+b2

a

|x₂|，
∴|OA|•|OB|=

a2+b2

a2

|x₁|•|x₂|=

a2+b2

a2

•

9a2

8

=

9(a2+b2)

8

，
設直線OA與OB所成的夾角為2θ，∵tanθ=

b

a

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2• b a

1- b2 a2

=

2ab

a2-b2

，
∴sin2θ=

2• b a

1+ b2 a2

=

2ab

a2+b2

，
∴S_△AOB=

1

2

•|OA|•|OB|sin2θ=

1

2

×

9(a2+b2)

8

×

2ab

a2+b2

=

9

8

ab．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質的綜合應用，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查運算能力，屬于中檔題．