Question

10．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別在A₁D、AC上，且A₁E=$\frac{2}{3}$A₁D，AF=$\frac{1}{3}$AC，則（　�。�

• A． EF至多與A₁D、AC之一垂直
• B． EF與A₁D、AC都垂直
• C． EF與BD₁相交
• D． EF與BD₁異面

Answer 1

分析 連接D₁E，BF，根據(jù)A₁E=$\frac{2}{3}$A₁D，AF=$\frac{1}{3}$AC，判斷D₁E，BF交與同一點M，再根據(jù)成比例線段證明EF∥D₁B，由D₁B⊥AC，D₁B⊥A₁D證明EF與A₁D、AC都垂直．

解答 解：如圖所示；

連接D₁E，與AD交與M點處，因為A₁E=$\frac{2}{3}$A₁D，所以DM=$\frac{1}{2}$A₁D₁=$\frac{1}{2}$AD，
所以M為AD中點，
連接BF，交AD與N點，因為AF=$\frac{1}{3}$AC，所以AN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
所以N為AD中點，
所以M，N重合；且$\frac{ME}{{ED}_{1}}$=$\frac{MF}{FB}$=$\frac{1}{2}$，所以EF∥D₁B，
又AC⊥平面DD₁B，所以AC⊥BD₁，
所以AC⊥EF，
同理，A₁D⊥EF，
所以EF與A₁D、AC都垂直，且相交，
∴B正確，A、EF至多與A₁D、AC之一垂直錯誤，
C、EF與BD₁相交錯誤，D、EF與BD₁異面錯誤．
故選：B．

點評 本題考查了立體幾何中線線平行與垂直的判斷問題，是綜合性問題．