Question

20．若x²-xy+y²=1（x，y∈R），則x²+2y²的最小值為$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由x²-xy+y²=1（x，y∈R），x=0時，y²=1，可得：x²+2y²=2．x≠0時，x²+2y²=$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$=$\frac{1+2{t}^{2}}{1-t+{t}^{2}}$=f（t），令$\frac{y}{x}$=t∈R．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵x²-xy+y²=1（x，y∈R），
x=0時，y²=1，∴x²+2y²=2．
x≠0時，x²+2y²=$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$=$\frac{1+2{t}^{2}}{1-t+{t}^{2}}$=f（t），令$\frac{y}{x}$=t∈R．
則f′（t）=$\frac{-2{t}^{2}+2t+1}{（{t}^{2}-t+1）^{2}}$=$\frac{-2（t-\frac{1+\sqrt{3}}{2}）（t-\frac{1-\sqrt{3}}{2}）}{（{t}^{2}-t+1）^{2}}$，
∴當t=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$時，f（t）取得最小值，f（t）=$\frac{2t+2}{\frac{1}{2}+1}$，∴$f（\frac{1-\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{2×\frac{1-\sqrt{3}}{2}+2}{\frac{3}{2}}$=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$．
綜上可得：x²+2y²的最小值為$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題查克拉利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、換元法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．