Question

【題目】過拋物線上一點(diǎn)作直線交拋物線E于另一點(diǎn)N.

（1）若直線MN的斜率為1，求線段的長(zhǎng).

（2）不過點(diǎn)M的動(dòng)直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，問動(dòng)直線l是否恒過定點(diǎn)．如果有求定點(diǎn)坐標(biāo)，如果沒有請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）有，定點(diǎn)．

【解析】

（1）將點(diǎn)代入拋物線方程求出，可得拋物線方程，求出直線的方程，將直線與拋物線聯(lián)立求出交點(diǎn)，從而利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.

（2）設(shè)出直線AB的方程：，將直線與拋物線聯(lián)立消，利用，可得，設(shè)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算整理可得，從而可得，代入直線方程即可求解.

（1）把代入中，得

直線的方程：，

即：與聯(lián)立

得：，

∴，；∴

∴．

（2）設(shè)直線AB的方程為：與聯(lián)立，

得：，

設(shè)，

，即

，

∵，∴

∴

整理得：

代入得：

即

∴（舍去），（符合）

∴直線

∴

即動(dòng)直線AB經(jīng)過定點(diǎn)．