Question

14．如圖，某污水處理廠要在一個矩形ABCD的池底水平鋪設污水凈化管道（直角△EFG，E是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好，設計要求管道的接口E是AB的中點，F(xiàn)、G分別落在AD、BC上，且AB=20m，$AD=10\sqrt{3}m$，設∠GEB=θ．
（1）試將污水管道的長度l表示成θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）當θ為何值時，污水凈化效果最好，并求此時管道的長度．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)定義表示出EG和FE的長度，利用勾股定理可得長度FG．三邊之和可得污水管道的長度l．
（2）根據(jù)（1）中的關系式利用三角函數(shù)公式化簡，利用三角函數(shù)的有界限可得l的最大值，即污水凈化效果最好．

解答 解：（1）由題意，∠GEB=θ．∠GEF=90°．則∠AEF=90°-θ，
E是AB的中點，AB=20m，$AD=10\sqrt{3}m$，
∴EG=$\frac{10}{cosθ}$，EF=$\frac{10}{cos（90°-θ）}$=$\frac{10}{sinθ}$．
FG=$\sqrt{E{G}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{10}{cosθsinθ}$
則$l=\frac{10}{sinθ}+\frac{10}{cosθ}+\frac{10}{sinθcosθ}$
定義域：$（θ∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]）$；
（2）由（1）可知則$l=\frac{10}{sinθ}+\frac{10}{cosθ}+\frac{10}{sinθcosθ}$，$（θ∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]）$；
化簡可得l=$\frac{10（sinθ+cosθ）+10}{sinθcosθ}$，
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
∵$（θ∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]）$；
∴$θ+\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]，
可得sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，1]
則：t∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\sqrt{2}$]
可得：sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，且t≠1．
那么：l=$\frac{10+10t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{20（1+t）}{{t}^{2}-1}$=$\frac{20}{t-1}$．
當t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$時，長度l取得最大值為$20\sqrt{3}+20$；
此時：t=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，即$θ+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$或$\frac{7π}{12}$
∴$θ=\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$，
故得$θ=\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為$20\sqrt{3}+20$；

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的應用在實際中的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．