Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\sqrt{3}{sin^2}$ωx-sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{4}$，則f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，0]$上的最大值為1．

Answer 1

分析 通過(guò)二倍角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用函數(shù)的正確求出ω的值；通過(guò)x 的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域與單調(diào)性直接求解f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$sin²ωx-sinωxcosωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$sin2ωx
=-sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）．
因?yàn)閥=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{4}$，故周期為π
又ω＞0，所以 $\frac{2π}{2ω}$=4×$\frac{π}{4}$，解得ω=1；
故f（x）=-sin（2x-$\frac{π}{3}$），
當(dāng)-$\frac{π}{4}$≤x≤0時(shí)，-$\frac{5π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{π}{3}$，
故2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）_max=-sin（-$\frac{π}{2}$）=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角的三角函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的值域與單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．