Question

【題目】已知函數(shù)，其中a，．

當(dāng)時(shí)，若在處取得極小值，求a的值；

當(dāng)時(shí)．

若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的取值范圍；

若存在實(shí)數(shù)，使得，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-2；（2）①；②.

【解析】

(1）代入b的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出a的值即可；

（2）代入a的值，①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論b的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定b的范圍即可；

②通過討論b的范圍，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定b的范圍即可．

（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>在處取得極小值，所以，解得：.

此時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以在處取得極小值.

所以符合題意.

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以.

令.

①因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，

即在上恒成立.

當(dāng)時(shí)，則，滿足題意.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>的對稱軸為，

所以，解得或.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

②當(dāng)時(shí)，，與題意不符.

當(dāng)時(shí)，取，則.

令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以，即.

所以，

所以符合題意.

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>在遞增且

所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

所以恒成立，與題意不符.

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，，

由零點(diǎn)存在性原理可知，存在，使得，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

取，則，符合題意.

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.