(2013•宜賓一模)已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
1
2
,短軸長(zhǎng)為4
3

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)P(2,3),Q(2.-3)是橢圓C上兩個(gè)定點(diǎn),A、B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足∠APQ=∠BPQ的斜率是否為定值,說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程,利用離心率為
1
2
,短軸長(zhǎng)為4
3
,求出幾何量,即可得到橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線方程代入橢圓方程,確定x1+x2,x1-x2,即可求得斜率.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0).
由已知b=2
3
,離心率e=
c
a
=
1
2
,a2=b2+c2,得a=4,
所以,橢圓C的方程為
x2
16
+
y2
12
=1
;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∠APQ=∠BPQ時(shí),PA,PB的斜率之和為0
設(shè)直線PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,
則PA的直線方程為y-3=k(x-2)代入橢圓方程,可得(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0
x1+2=
8(2k-3)k
3+4k2

同理x2+2=
8(2k+3)k
3+4k2

∴x1+x2=
16k2-12
3+4k2
,x1-x2=
-48k
3+4k2

kAB=
y1-y2
x1-x2
=
k(x1+x2)-4k
x1-x2
=
1
2

∴直線AB的斜率為定值
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,屬于中檔題.
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3
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