Question

【題目】如圖，河的兩岸，分別有生活小區(qū)ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F(xiàn)三點共線，F(xiàn)D與BA的延長線交于點O，測得AB=3km，BC=4km，DF= km，F(xiàn)E=3km，EC= km．若以O(shè)A，OD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系xoy，則河岸DE可看成是曲線y= （其中a，b為常數(shù)）的一部分，河岸AC可看成是直線y=kx+m（其中k，m為常數(shù)）的一部分．

（1）求a，b，k，m的值；
（2）現(xiàn)準備建一座橋MN，其中M，N分別在DE，AC上，且MN⊥AC，設(shè)點M的橫坐標為t．
①請寫出橋MN的長l關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式l=f（t），并注明定義域；
②當t為何值時，l取得最小值？最小值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：OD=BC=4，OB=FC，

∴D（0， ），E（3，4），A（ ，0），C（ ，4），

把D（0， ），E（3，4）代入y=

得： ，解得：a=﹣4，b=﹣7，

把A（ ，0），C（ ，4）代入y=kx+m

得： ，解得：k= ，m=﹣2

（2）解：由（1）得：M點在y= 上，

∴M（t， ），t∈[0，3]，

①橋MN的長l為MN到直線y= x﹣2的距離，

故l=f（x）= = |4t+ ﹣9|，t∈[0，3]；

②由①得：f（t）= |4t+ ﹣9|= |4（t﹣4）+ +7|，

而t﹣4＜0， ＜0，

∴4（t﹣4）+ ≤﹣2 =﹣12，

當且僅當4（t﹣4）= 時即t= “=”成立，

∴f（t）min= |﹣12+7|=1

【解析】（1）先求出D、E、A、C點的坐標，代入函數(shù)的解析式，從而求出a，b，k，m的值即可；（2）①先表示出M點的坐標，問題轉(zhuǎn)化為求M到直線AC的距離即可；②由基本不等式的性質(zhì)求出最小值即可．