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【題目】設函數.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）當時，若函數與函數的圖像總有兩個交點，設兩個交點的橫坐標分別為，.

①求的取值范圍；

②求證：.

【答案】（Ⅰ）當時，單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）①，②見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，結合題中所給的的條件，令導數大于零和導數小于零，分別求出函數的單調增區(qū)間和單調減區(qū)間；

（Ⅱ）函數與函數的圖像總有兩個交點，等價于函數 有兩個零點，對函數求導，研究函數的單調性，從而求得參數m的范圍，之后根據兩個零點的條件，以及函數圖象的特點，證得結果.

（Ⅰ）由已知得，，

由，，令得：，

令得，

所以，當時，單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）令 ，

∴，

①解法一：由得，；由得，易知，為的極大值點.

，

當時，；當時，.

由題意，只需滿足，

∴的取值范圍是：.

解法二：，

由得，；由得，易知，為極大值點.

而在時取得極小值，

由題意，只需滿足，解得.

②由題意知，，為函數 的兩個零點，由①知，不妨設，則，且函數在上單調遞增，

欲證，只需證明，而，

所以，只需證明.

令，則

∴

∵，∴，即

所以，，即在上為增函數，所以，，

∴成立，所以，.

練習冊系列答案
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